Задачи олимпиады по математике. Муниципальный этап 

7 класс

7.1.     Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?

7.2.     Из прямоугольника размером 8´11 клеток требуется по линиям сетки вырезать несколько квадратов так, чтобы не было одинаковых квадратов. Какое наибольшее число квадратов можно вырезать?

7.3.     В шестизначном числе зачеркнули одну цифру и получили пятизначное. Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число.

7.4.     а) Имеется 9 палочек длины 1, 2, …, 9. Можно ли из них сложить равносторонний треугольник? (Палочки нельзя ломать, их можно прикладывать концами друг к другу; требуется использовать все палочки.) б) Аналогичная задача, если имеется 10 палочек длины 1, 2, …, 10.

7.5.     Даны натуральные числа a и b. Обязательно ли они оканчиваются на одну и ту же цифру, если известно, что: а) числа  и  оканчиваются на одну и ту же цифру; б) числа  и  оканчиваются на одну и ту же цифру?

Задачи олимпиады по математике. Муниципальный этап 

8 класс

8.1.     Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?

8.2.     В шестизначном числе зачеркнули одну цифру и получили пятизначное. Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число.

8.3.     Дан треугольник ABC. Точка  M лежит на стороне BC. Известно, что AB = BM и
 AM = MC, угол B равен 100°. Найдите остальные углы треугольника ABC.

8.4.     Какое наибольшее число ладей можно разместить на шахматной доске так, чтобы для каждой ладьи либо её горизонталь, либо её вертикаль (либо и та, и другая) были свободны от других ладей?

8.5.     а) Даны натуральные числа a и b. Обязательно ли они имеют одинаковые остатки при делении на 10, если известно, что числа  и   имеют одинаковые остатки при делении на 10 ?

            б) Даны натуральные числа a, b и с. Известно, что у чисел 2a + b, 2b + c и 2c + a  остатки при делении на 10 одинаковые. Докажите, что у чисел a, b и с остатки при делении на 10 тоже одинаковые.

Задачи олимпиады по математике. Муниципальный этап 

9 класс

9.1.     Число a является корнем уравнения  . Найдите значение .

9.2.     Дан треугольник ABC , точка M лежит на стороне BC. Известно, что AB = BM и
AM = MC, угол B равен 100°. Найдите остальные углы треугольника ABC.

9.3.     Имеется 6 палочек длины 11, 12, 13, 14, 15, 16. Можно ли из них сложить равнобедренный тупоугольный треугольник? (Палочки нельзя ломать, их можно прикладывать концами друг к другу; требуется использовать все палочки.)

9.4.     Какое наибольшее число ладей можно разместить на шахматной доске так, чтобы для каждой ладьи либо её горизонталь, либо её вертикаль (либо и та, и другая) были свободны от других ладей?

9.5.     Квадрат простого числа р увеличили на 160 и получили квадрат натурального числа. Найдите р.

Задачи олимпиады по математике. Муниципальный этап 

10 класс

10.1.   Число a является корнем уравнения  . Найдите значение .

10.2.   Дан треугольник АВС. На сторонах АВ, ВС и АС взяты точки С , А  и В  соответственно, так что     Обязательно ли все три точки А , В₁, С₁  являются серединами сторон, если известно, что серединами сторон являются по меньшей мере: а) две из них?  б) одна из них?

10.3.   Можно ли из 25 натуральных чисел 1, 2, …, 25  выбрать 9 различных чисел и расположить их по кругу так, чтобы сумма квадратов любых трех подряд идущих чисел делилась на 10 ?

10.4.   Квадрат простого числа р увеличили на 160 и получили квадрат натурального числа. Найдите р.

10.5.   У квадратного трехчлена  известна сумма коэффициентов  Чему равна сумма коэффициентов а) многочлена 4-й степени (P(х))² (после возведения в квадрат и приведения подобных членов)? б) многочлена 20-й степени (P(х))¹⁰?

Задачи олимпиады по математике. Муниципальный этап 

11 класс

11.1.   Найдите  число корней уравнения  в зависимости от значения  а .

11.2.   Решите уравнение

11.3.   Дан прямоугольный параллелепипед  и произвольная точка М в пространстве. Докажите, что

11.4.   У квадратного трехчлена  известна сумма коэффициентов  Чему равна сумма коэффициентов а) многочлена 4-й степени (P(х))² (после возведения в квадрат и приведения подобных членов)? б) многочлена 20-й степени (P(х))¹⁰?

11.5.   Из 25 натуральных чисел 1, 2, …, 25 требуется выбрать несколько различных чисел и расположить их по кругу так, чтобы сумма квадратов любых трех подряд идущих чисел делилась на 10. Можно ли выбрать а) 8 чисел?; б) 9 чисел?